Công thức cấp số cộng cấp số nhân
Cùng khám phá chi tiết Công thức cấp số cộng cấp số nhân trong nội dung tiếp theo đây!
Trong toán học, cấp số cộng là một dãy số (là hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0, gọi là công sai.
Công thức cấp số cộng: ∀n∈N∗, Un+1=Un+d
Định nghĩa, tính chất của cấp số cộng
Trong đó:
d là công sai
Un+1–Un = d với mọi n ∈ N* ( trong đó d là hằng số còn Un+1;Un đều là hai số liên tiếp của dãy số CSC
Khi hiệu số Un+1–Un phụ thuộc vào n thì không được coi là cấp số cộng.
Tính chất:
Uk= (Uk–1+Uk+1) : 2,∀k≥2
Số hạng tổng quát: Un=U1+(n–1)d
Tổng n số hạng đầu có dạng:
Sn= U1+U2+…+Un=(U1+Un).n2=[2U1+(n–1)d].n2
>> Xem thêm: Bảng nguyên tố hóa học
Khái niệm: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu sẽ khác không và kể từ số hạng thứ hai đều sẽ bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 còn gọi là công bội.
Công thức tổng quát như sau: Un+1=Un.q
Trong đó
n ∈ N*, Công bội là q
Un,Un+1: hai số liên tiếp trong công bội
Tính chất
Un+1 x Un=Un+2Un+1
Un+1= √Un.Un+2, Un > 0
Ta thấy: {Un+1=Un.qUn= U1.qn−1,(với n≥2)⇒U2k=Uk−1.Uk+1,( với n≥2)
+ Số hạng tổng quát có dạng: Un=U1.q^n−1
+ Tổng n số hạng đầu tiên: Sn=U1+U2+...+Un= [U1(1−qn) ]/ (1−q)
+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1 thì Sn=U1+U2+...+Un=U11−q
Tham khảo: cách tạo website miễn phí
Công thức cấp số nhânLưu ý: Công thức cấp số cộng cấp số nhân thường xuyên xuất hiện trong đề thi, tương đối dễ làm nên cần rèn luyện kỹ.
3.1. Bài tập về cấp số cộng
Câu 1. Cho cấp số cộng (Un) với U1 = 3, U2 = 9. Tính Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
Lời giải:
Áp dụng công thức CSC ta có: d= U2-U1= 9-3=6
Câu 2. Cho một cấp số cộng có U1=−3; u6=27. Tìm d ?
Lời giải
Dựa vào công thức cấp số cộng ta có phép tính như sau:
U6=27⇔u1+5d=27⇔−3+5d=27⇔d=6
Vậy công sai của CSC là 6
Câu 3: Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC cho biết tổng của 4 số = 20 và tổng các bình phương của 4 số đó là 120.
Lời giải:
Giả sử bốn số hạng đó có dạng: a + x, a – 3x, a – x, a + 3x với công sai là d = 2x.Khi đó, ta được:
{(a−3x)+(a−x)+(a+x)+(a+3x)=20(a−3x)2+(a−x)2+(a+x)2+(a+3x)2=120
⇔{4a=204a2+20x2=120⇔{a=5x=±1
Vậy 4 số lần lượt là 2, 4, 6, 8.
Tham khảo: Thực đơn giảm cân cho nữ cơ địa khó giảm
3.2. Bài tập về công thức cấp số nhân
Bài tập áp dụng cấp số nhân
Câu 1. Cho Cấp số nhân (Un) với U1= 2; q = 3. Viết 3 số hạng tiếp theo của dãy số và số hạng tổng quát Un ?
Lời giải:
Từ công thức cấp số nhân ta có:
U2= U1.q= 2.3 = 6;
U3=U2.q=6.3=18
U4=U3.q=18.3 = 48
Vậy Số hạng tổng quát Un=U1.qn−1=2.3n−1.
Câu 2. Cho CSN (Un) với U1=−1; q=−110. Hỏi Số 110103 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân trên?
Lời giải:
Un= U1.qn−1⇒110103=−1.(−110)n−1
<⇒n−1=103⇒n=104
Vậy số 110103 là số hạng thứ 104 của CSN.
Câu 3: Cho cấp số nhân: −15; a; −1125. Tìm giá trị của a là:
Lời giải:
Dựa theo công thức cấp số nhân ta có: a2=(−15).(−1125)=1625⇔a=±125
Cấp cộng và cấp số nhân là hai khái niệm quan trọng trong toán học, thường được sử dụng để mô tả cách mà một dãy số phát triển theo thời gian.
Cấp số cộng
Định nghĩa: Một dãy số có cấp cộng (hay còn gọi là cấp số cộng) là dãy số mà mỗi số hạng sau bằng số hạng trước cộng với một hằng số (gọi là công sai).
Công thức: an= a1 + (n-1)d
Trong đó an là số hạng thứ n, a1 là số hạng đầu tiên, d là công sai.
Ví dụ: Dãy số 2, 5, 8, 11, 14 (công sai là 3).
Cấp số nhân
Định nghĩa: Một dãy số có cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với một hằng số (gọi là công bội).
Công thức: an= q^n-1
Trong đó an là số hạng thứ n, a1 là số hạng đầu tiên, q là công bội.
So sánh
- Tăng trưởng: Cấp cộng tăng trưởng theo một tỷ lệ cố định, trong khi cấp số nhân tăng trưởng theo một tỷ lệ tăng trưởng tỷ lệ thuận, dẫn đến sự phát triển nhanh chóng hơn.
- Đồ thị: Đồ thị của dãy cấp cộng thường là một đường thẳng, trong khi đồ thị của dãy cấp số nhân thường là một đường cong tăng dần.
- Ứng dụng: Cấp cộng thường xuất hiện trong các tình huống phân bổ đồng đều (ví dụ, tiền lương), còn cấp số nhân thường liên quan đến tăng trưởng dân số, lãi suất, hay sự phát triển công nghệ.
Cấp số cộng (CSC) và Cấp số nhân (CSN) là hai dãy số quan trọng trong toán học, với nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau. Dưới đây là một số ứng dụng của chúng trong đời sống và các bài toán thực tiễn:
5.1.Ứng dụng của Cấp Số Cộng (CSC)
Cấp số cộng là dãy số mà hiệu của hai số liên tiếp luôn không đổi. Dạng tổng quát của cấp số cộng là:
𝑎1, 𝑎2,𝑎3,…với 𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛=𝑑
Trong đó: d là hiệu của hai số liên tiếp (hằng số).
Ứng dụng trong thực tiễn:
Tính lãi suất (vay nợ): Cấp số cộng có thể được sử dụng để tính số tiền trả trong các khoản vay hoặc các khoản nợ đều đặn, với số tiền trả mỗi kỳ đều bằng nhau (ví dụ, vay mua nhà, vay sinh viên).
Quản lý chi phí: Trong các tình huống khi chi phí hoặc thu nhập thay đổi đều đặn theo một mức nhất định, cấp số cộng giúp theo dõi và tính toán chi phí trong các hoạt động kinh doanh hoặc sản xuất.
Di chuyển và quỹ đạo: Khi một vật thể di chuyển với vận tốc không đổi (hoặc gia tốc không đổi), các vị trí của vật thể tại các thời điểm liên tiếp có thể tạo thành một cấp số cộng.
5.2. Ứng dụng của Cấp Số Nhân (CSN)
Cấp số nhân là dãy số mà tỉ số của hai số liên tiếp luôn không đổi. Dạng tổng quát của cấp số nhân là:
𝑎1,𝑎2,𝑎3,…với 𝑎𝑛+1/𝑎𝑛=𝑞
Trong đó, 𝑞 là tỉ số của hai số liên tiếp (hằng số).
Ứng dụng trong thực tiễn:
Tăng trưởng dân số: Dân số một quốc gia hoặc khu vực thường tăng trưởng theo mô hình cấp số nhân, đặc biệt khi điều kiện sống và sinh hoạt tốt, tỉ lệ sinh cao.
Lãi suất kép: Lãi suất kép trong các khoản đầu tư hoặc tiền gửi ngân hàng cũng được tính theo cấp số nhân, vì mỗi kỳ lãi được tính trên cả số tiền gốc và lãi của kỳ trước.
Sự lây lan của dịch bệnh: Sự phát triển của các dịch bệnh như cúm, COVID-19, trong giai đoạn đầu có thể theo mô hình cấp số nhân, vì số ca bệnh lây lan theo tỉ lệ nhất định qua mỗi giai đoạn.
Quy mô công ty và đầu tư: Khi một công ty phát triển hoặc một khoản đầu tư sinh lời theo tỉ lệ phần trăm cố định, sự phát triển của nó có thể được mô phỏng qua cấp số nhân.
Kết hợp giữa CSC và CSN
Trong nhiều tình huống thực tiễn, các dãy số cấp số cộng và cấp số nhân có thể xuất hiện đồng thời. Ví dụ:
Vay nợ với lãi suất thay đổi: Nếu một khoản vay có số tiền trả hàng tháng theo cấp số cộng nhưng lãi suất áp dụng theo cấp số nhân, việc tính toán sẽ kết hợp cả hai dạng dãy số này.
Tóm lại:
Cấp số cộng (CSC) chủ yếu ứng dụng trong các tình huống có sự thay đổi đều đặn (như chi phí cố định, lãi suất đơn, hay quỹ đạo chuyển động đều).
Cấp số nhân (CSN) chủ yếu ứng dụng trong các tình huống có sự thay đổi theo tỉ lệ phần trăm (như tăng trưởng dân số, lãi suất kép, sự lây lan dịch bệnh, và đầu tư tài chính).
Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi chia sẻ đã giúp bạn nắm được Công thức cấp số cộng cấp số nhân? Việc rèn luyện các bài tập về Công thức cấp số cộng, cấp số nhân giúp các em ghi nhớ kiến thức tốt!